Tutoriel Python - sommaire

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Maths avec Python : modules fractions & math ; extensions : matplotlib, numpy

Même sans importer de modules, on peut déjà faire de nombreux traitements mathématiques via Python.
Mais avec différents modules tels fractions & math mais aussi avec l'extension de Python matplotlib on peut aller beaucoup plus loin ...

Le module fractions

Vous pouvez manipuler des fractions sous Python grâce au module fractions.
Un seul exemple, il est plus logique d'utiliser la fraction "1/3" que le flottant correspondant qui n'est qu'une valeur approchée de ce nombre irrationnel.

Quelques commandes à tester

Commentons les commandes ci-dessus :
• activation ("importation") du module
• la fonction Fraction (attention à la casse) est argumentée par deux entiers (numérateur, dénominateur) ou par une chaîne ("numérateur/dénominateur")
• on peut additionner, soustraire, multiplier, diviser plusieurs fractions ; Python réduit au même dnominateur si nécessaire :
  - addition : 1/3 + 1/2 = 5/6 ou dans le jargon Python : Fraction(5,6)
  - soustraction : 1/2 - 1/3 = 1/6 ou en Python : Fraction(1,6)
  - mu1tiplication : 1/4 * 1/3 = 1/12 ou en Python : Fraction(1,12)
  - division : 1/3 / 1/4 = 4/3 ou en Python : Fraction(4,3). Donc il a bien effectué 1/3 * 4/1
• float(unTiers+unQuart) : on peut convertir une fraction en flottant avec la fonction float() ; 1/3 + 1/4 = 7/12 soit environ 0.5833333 ...
• Fraction(6/12) retourne Fraction(1,2) : donc la fraction est simplifiée

Utiliser une fraction plutôt qu'un flottant

Il y avait dans le passé un taux de TVA dit majoré qui était égal à 1/3 du hors taxes. Il s'appliquait entre autres au matériel HIFI et aux voitures neuves.
Voyons comment il fallait alors calculer la TVA par rapport au prix hors taxes de l'article.

>>> taux_tva = Fraction(1/3)
>>> hors_taxe = 1000
>>> TVA = round(float(hors_taxe * taux_tva),2)
>>> TVA
333.33

La TVA sur l'article qui vaut 1000 HT est calculé en appliquant le taux sous forme d'une fraction.
Dans la même commande le résultat est arrondi à deux décimales. J'ai donc imbriqué les fonctions round & float.

Module math

Vous allez dire : "on a déjà vu ! " Non, on a seulement survolé. Dans ce chapitre nous allons approfondir en présentant d'autres fonctions de ce module.

Une liste impressionnante de fonctions

>>> import math
>>> dir(math)
... 'acos', 'acosh', 'asin', 'asinh', 'atan', 'atan2', 'atanh', 'ceil', 'comb', 'copysign', 'cos', 'cosh',
 'degrees', 'dist', 'e', 'erf', 'erfc', 'exp', 'expm1', 'fabs', 'factorial', 'floor', 'fmod', 'frexp', 'fsum',
 'gamma', 'gcd', 'hypot', 'inf', 'isclose', 'isfinite', 'isinf', 'isnan', 'isqrt', 'lcm', 'ldexp', 'lgamma', 'log',
 'log10', 'log1p', 'log2', 'modf', 'nan', 'nextafter', 'perm', 'pi', 'pow', 'prod', 'radians', 'remainder', 'sin', 
 'sinh', 'sqrt', 'tan', 'tanh', 'tau', 'trunc', 'ulp'.
>>>

Testons avec la console certaines de ces fonctions.
Qui doivent être ici préfixées compte tenu de la syntaxe utilisée pour l'importation du module.

Les fonctions testées ci-dessus :
• ceil(nombre) : arrondit à l'entier supérieur
• floor(nombre) : arrondit à l'entier inférieur
• fabs(nombre) : retourne la valeur absolue
• factorial(n) : retourne la factorielle de l'entier n : 1*2 ... * n
• remainder(dividende, diviseur) : retourne le reste de la division entière ; équivaut à dividende%diviseur
• fsum(liste) : retourne la somme des éléments d'une liste, tuple ou ensemble
• gcd(n1,n2): retourne le plus grand commun diviseur entre plusieurs entiers
• hypot(4,3): donne la valeur de l'hypothénuse à partir des côtés de l'angle droit ; équivaut à math.sqrt(4** + 3**)
• modf(flottant): décompose un nombre décimal en partie entière et partie décimale sous forme d'un tuple
• round(3.99) : la fonction round() n'existe pas dans le module "math". Mais elle est toujours disponible sans aucune importation (fonction native). Il faut donc écrire tout simplement round(3.99). Il en est de même pour pow(x,n)
• math.pi : pi n'est pas une fonction du module mais une constante. Donc pas de parenthèses après "pi"
• pow() est une fonction native mais qui existe aussi dans le module math. Attention la fonction native retourne un entier alors que la fonction du module retourne un flottant.

Concernant l'objet factorial(), rappelez vous, dans un chapitre précédent nous nous sommes fatigués à produire (de deux façons) une fonction retournant la factorielle d'un nombre. Donc nous avons travaillé pour rien ? Pas vraiment, car nous avons ainsi découvert à cette occasion une notion importante en algorithmique : la récursivité.

Trigonométrie

Le module math comprend également toutes les fonctions relatives à la trigonomètrie :

• fonctions pour convertir radians en degrés ou vice versa
• fonctions pour calculer sinus, cosinus, tangente à partir d'un angle en radians
• fonctions pour calculer angles en radians à partir de sinus, cosinus ou tangente.

Rappels : unité d'angle radian

Le radian est une unité de mesure pour mesurer les angles, comme le degré. Un angle d'un radian est un angle qui délimite un arc de cercle d'une longueur égale au rayon du cercle.
Un cercle complet (360°) représente un angle de 2π radians. Donc un angle plat c'est π radian et un angle droit c'est π/2.

Rappels de trigonométrie

La trigonométrie est une branche des mathématiques qui traite des relations entre distances et angles dans un triangle rectangle. Sinus, cosinus et tangente sont des rapports entre deux côtés du triangle rectangle. Mais à partir du sinus (ou cosinus ou tangente) on peut déterminer l'angle correspondant.

Quelques fonctions trigonométriques proposées par le module math

Vérifions tout cela dans l'interpréteur :

>>> import math
>>> math.pi
3.141592653589793
>>> math.radians(360)
6.283185307179586
>>> math.degrees(2 * math.pi)
360.0
>>> math.sin(radians(45))
0.7071067811865476
>>> math.sin(radians(60))
0.8660254037844386
>>> math.sin(radians(30))
0.49999999999999994

math.pi retourne 3.1416... environ.
L'équivalent de 360° en radians est 6,28 radians.
L'équivalent de 2 ∏ radians = 360°
La fonction radians(angle en degrés) convertit les degrés en radians.
La fonction degrees(angle en radians) convertit les radians en degrés.
La fonction sin(angle en radians) retourne la valeur du sinus. Donc si vous voulez partir d'un angle en degrés il faut imbriquer la fonction radians(angle en degrés) dans sin()
Il existe aussi les fonctions : cos(), tan()

Rappels sur le calcul du sinus, cosinus et tangente d'un angle

Après avoir calculé le sinus ou cosinus ou tangente d'un angle, il fallait rechercher ensuite dans les tables trigonométriques l'angle correspondant.
J'emploie le passé car désormais la recherche d'une valeur d'angle se fait avec une calculette scientifique OU avec Python.

Exercice de trigo

Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit qui mesurent respectivement 3 et 4.
Calculez l’hypoténuse, et les deux angles (autres que l'angle droit) en degrés.

Résolvons ce problème via l'interpréteur Python

>>> from math import *		# avec cette syntaxe, il est inutile de préfixer les fonctions du module math
>>> a=4
>>> b=3
>>> h =sqrt(pow(a,2) + pow(b,2))	#j'aurais pu utiliser la fonction hypot
>>> h
5.0
>>> h =math.hypot(a,b)
>>> h
5.0
>>> angle1 = degrees(asin(b/h))
>>> angle
36.86989764584402
>>> angle2 = degrees(asin(a/h))
>>> angle2
53.13010235415599
>>>
>>> angle1 + angle2
90.0

Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.
Donc l'hypoténuse est ici égale à 5
Donc le sinus du premier angle = 3/5 soit un angle de 36,87°
Et le sinus du deuxième angle = 4/5 soit un angle de 53,13°
Contrôle : la somme des deux angles est égale à 90°

La fonction asin(sinus) donne l'angle en radians à partir de la valeur du sinus ; il faut ensuite le convertir en degrés avec la fonction degrees()
Il existe aussi les fonctions acos(), atan().

Voyez que souvent on est obligé d'imbriquer dans une commande deux fonctions.

La bibliothèque matplotlib

Grâce à cet outil vous allez pouvoir représenter graphiquement des fonctions mathématiques telles y = ax + b(fonctions affines) ou des paraboles (y = ax²) voire des hyperboles (y = 1/x) etc.

Matplotlib est donc une bibliothèque pour le traçage de courbes. J'ai bien écrit "bibliothèque" (et non pas module). Donc pour disposer des fonctions de ce pack il ne suffit pas de l'activer (ou importer) c'est un peu plus compliqué ; il faut d'abord installer éventuellement cette extension de Python ; la rajouter au pack de base en d'autres termes.

Tracer des courbes

L'installation éventuelle d'une extension de Python sera évoquée dans le chapitre 16.
Dons pour le moment, supposez que le pack est installé.

Si l'extension est installé il faut l'activer et plus précisément le module pyplot.

Premier tracé

Commandes à saisir :

>>> import matplotlib.pyplot as pyp
>>> pyp.plot([-3,0,3], [-6,0,6])
>>> pyp.show()

Cette batterie de commandes ne peut fonctionner que si l'extension matplolib est installée.
Voir chapitre 16 pour installation éventuelle avec l'utilitaire pip.

En raison du nom compliqué du module (matplotlib.pyplot), il est conseillé d'utiliser un alias.
La fonction plot() demande en arguments deux séries de valeurs : la série des abcisses et la série des ordonnées. Ces deux arguments peuvent être des variables contenant chacune une liste.
Après la dernière commande pyp.show() une fenêtre légendée "figure1" et contenant le graphique s'affiche.

Le graphique :

Il s'agit d'une droite puisque les couples (x,y) correspondent à la fonction y = 2x (une fonction linéaire)
La fonction show() est utiisée sans arguments.

Deuxième tracé

Pour le premier tracé nous n'avions que trois couples (x,y) mais c'était suffisant, puisqu'il s'agissait d'une fonction linéaire.
Pour tracer, par exemple, une parabole il faut beaucoup plus de points ; nous allons donc avoir besoin de la fonction linspace() de la librairie numpy

Commandes à saisir dans l'interpréteur:

>>> import matplotlib.pyplot as pyp
>>> import numpy
>>>pyp.grid()
>>> x = numpy.linspace(-10,10,100)
>>> y =x * x
>>> pyp.plot(x,y)
>>> pyp.show()

pyp.grid() : on rajoute une grille dans le repère orthogonal.
x = numpy.linspace(-10,10,100) : les abscisses seront au nombre de 100 réparties dans l'intervalle -10 à +10
y = x*x : les ordonnées sont obtenues en calculant le carré de chaque abscisse.

Le graphique :

Une superbe parabole apparait dans la fenêtre "figure1".

Programmes construisant des graphiques

Pour sauvegarder nos commandes nous allons les stocker dans des programmes.

Réalisation d'un histogramme

Les histogrammes sont utilisés pour représenter des séries statistiques.
Thème : distribution des notes à un partiel dans un groupe de travaux dirigés.

Le code :

# nom programme : graphique1.py
# objet : histogramme sur distribution notes dans une classe
import matplotlib.pyplot as pyp
pyp.grid()
x = [6,8,10,12,14,16]
y = [3,5,6,8,7,2]
largeur = 0.5
pyp.bar(x, y, largeur)
pyp.show()

Le programme demande l'affichage d'une grille dans le repère orthogonal.
x contient la liste des abscisses (notes possibles)
y contient la liste des ordonnées (effectif de chaque note)
Pour produire un histogramme, il faut utiliser la fonction bar(série des x, série des y, largeur de chaque barre)

Le graphique :

Construction d'un nuage de points

Le code :

# nom programme : graphique2.py
# objet : nuage de points
import matplotlib.pyplot as pyp
pyp.grid()
x = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
y = [2, 3.5 ,5.5 ,8.5 ,9.5, 11.5]
pyp.scatter(x, y)
pyp.show()

Pour produire un nuage de points il faut utiliser la fonction scatter(abscisses, ordonnées)

Le graphique :

On note une corrélation linéaire presque parfaite : les points sont pratiquement alignés sur une droite.
On ne pourrait pas construire la droite de régression exprimant la relation entre les x et les y ???

Exercice

À vous de "bosser" un peu !
Ètes vous capables de produire la figure ci-dessous (une hyperbole) ?

Si x est proche de 0, son image est très grande mais de même sens que x. De quelle fonction il s'agit ?